【構造】有限要素法の脇役シリーズ Vol.6 - メッシュ自体の精度は大丈夫？

2019年11月06日

前回、メッシュを細かくしていくと精度は上がるという話をしました。しかし、ここでの注意点は前回も触れたように実現象に対する精度という意味ではないということです。また、今回は、要素自身が持っている精度について話をしたいと思います。

それは最終的に要素内のひずみエネルギーを評価する際の積分精度です。
精度向上には、要素内の応力分布が良く近似できているだけでなく、その積分値が精度よく計算できている必要があります。一番簡単な積分計算は、要素内の平均応力値に要素面積をかける処理ですが、これでは精度が粗く使えません。

一般的にはガウス求積法などの数値積分計算を使用することになります。これは、正規化（±1.0）された空間でのある特定の座標位置（積分点）での値とその重み係数を掛けることにより積分計算をするものです。従って、FEMでの応力値は、この積分点位置でしか計算していません。

ここで問題となるのが、ガウス積分点位置を使うための正規化空間への写像変換と要素の面積または体積を精度良く計算することです。数学的には、この写像変換を行う変換行列にヤコビ行列があり、その行列式（ヤコビアン）が面積、体積の正規化値からの変化率を表します。要素自身の精度向上として、応力分布が積分点数ｎの２ｎ次までの変化であること、ヤコビアンが０や負にならず且つあまり大きくならない（マニュアルには40程度以下となっています）ことが必要となります。

そのためには、細かさだけでなくゆがみの少ないメッシュを作る必要があります。３次元の自動メッシュにおいてはそう簡単ではありませんが、積分点数や積分方法を変える、ヤコビアンチェックを厳しくする、メッシュの細分割やメッシュ分割法を変えるなどの対処法があります。

[From N.Sahashi]

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