【構造】有限要素法の脇役シリーズ Vol.1 - 要素の役割（なぜメッシュが必要か）

2019年11月01日

構造解析において、任意形状内で支配方程式（力の釣り合い式）を満足する変位場を解くことを考えます。このとき、境界条件を満たす微分可能な連続関数を常に考えることは、一般には非常に煩雑となり困難となります。
そこで、区分多項式という近似を導入します。１次とか２次の低次の多項式連続場の繋ぎ合わせとしてモデル全体を近似します。その多項式で近似された連続小領域がメッシュなのです。

全体の連続関数と区分小領域連続関数の寄せ集めでは、当然一致しませんので誤差が生じます。その誤差を最小化する条件を近似解としています。誤差最小化の手法は最小２乗法のようなものでも良いのですが、形状関数の重みで誤差を分散させて最小化するガラーキン法が用いられます。従って、全体のエネルギーバランス（力の釣り合い）は満たしていても、要素間の微分連続性は保証されません。ひすみも応力も連続になりません。

ちなみに、境界要素法は、内部の支配方程式を満足する基本解を重み関数に使用しているので、内部での誤差が０になり、内部メッシュが不要になります。

また、全体のひずみエネルギーを計算するために、要素ごとのひずみエネルギーを数値積分により計算します。その積分空間の次元から、0～3次元要素タイプがあります。

ここで、0次元要素はスカラー要素になりますので、実際には積分計算はしません。直接節点値を割り当てます。代表的なのが集中マス要素、1点ダンパー要素、1点ばね要素があります。それぞれ、変位や速度、加速度が生じることにより、初期位置からの差分に応じて作用します。
特に、固有値解析や振動解析では良く使われます。また、いずれも６自由度を持っていますので、並進、回転それぞれにその効果を効かせたい自由度のみにスカラー値を設定することも可能です。

次回は、1次元要素について紹介していきます。

[From N.Sahashi]

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