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【構造】製品設計/強度設計の基本講座シリーズ vol.4 材料強度の評価法

材料内部に生じている応力(今まで紹介してきた3軸の応力テンソル)が材料固有の強さに達するとその材料は破損します。
一方、材料の強さは、一軸の引張り材料試験から求められることが多く、応力テンソル(3×3の9成分)とどの様に比較すれば良いかが問題となります。

その比較法の一つに、前回紹介したvonMises応力があります。その定義は、偏差応力の2次不変量となりますが、全弾性ひずみエネルギーから等方応力によるひずみエネルギーを引いたものと同じ式となることが分かっており、物理的にはせん断ひずみエネルギー量を表していることになります。

下図に種々の材料破損の実験結果を示します。
延性材料の破損に関しては、せん断ひずみエネルギー説(vonMises応力)が良く合っており、その包絡線の内側に最大せん断応力説、最大主応力説があります。

主応力空間座標(平面応力状態 σ2 = 0 の場合)

出典:尾田ら共著 「材料力学」<応用編> 森北出版

モールの説

モールは材料破損には、せん断応力ばかりでなく垂直応力も関係すると考えて、材料内部にはどのような力(引張り、圧縮、せん断)が生じているのかを一目で見えるようにして強度評価に使いました。
応力成分は、考える座標系の向き(回転)に応じて変化することも前回紹介しましたが、その変化の様子を垂直成分とせん断成分の2軸で図示したのがモールの応力円です。
そして、モールの応力円がある大きさになると材料が破損すると考えました。
主軸座標での主応力 σ1σ2をθだけ座標変換した応力σθτθは以下の式となり、図化すると円になります。

 


モールの応力円では、主に以下ことが一目でわかります。
 ・ 一軸引張り状態でも最大引張り応力の 1/2 倍の最大せん断応力が生じている
 ・ ねじり状態でも引張り応力とせん断応力が同じ値で生じている
 ・ 3つの主応力方向は、それぞれ 90° の方向となる
 ・ 最大せん断応力方向は、主応力方向に対して 45° となる
 ・ 最大主応力と最小主応力の差(円の大きさ)が最大せん断応力となる
   主応力がわかっていればすぐにモールの応力円が作成できますが、
   ある座標系で測定されたσxσyτxyがわかれば、
   その点を通る円を作図することにより、モールの応力円を作成することができます。

クーロンの強度式

クーロンは、材料破損は垂直応力によって決まるせん断応力の値、及び、最大引張り応力の値が材料固有の値を超えると破損すると考えました。
それは、土質や岩盤の力学実験より、ある傾きを持った直線で近似できることを示し、クーロンの強度式といいます。

垂直応力とせん断応力の図に、モールの円とクーロンの強度式を重ねて書くことができます。
モールの応力円が移動、拡大してクーロンの強度式と接するときの応力が破損時の応力状態となります。
これは、垂直応力状態によって許容せん断力が変わる脆性材料の強度式として使われます。
ちなみに、延性材料で使われる最大せん断応力説は、垂直応力に依存しないので、強度式は摩擦角0の水平の線となります。



[From N. Sanashi]

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