【構造】有限要素法の脇役シリーズ Vol.8 - 偶然の発見（セレンディピティ）

2019年11月08日

今までいろいろな要素を見てきましたが、要素内の変数を1次関数の多項式で内挿するのを1次要素、2次関数の多項式で内挿するのを2次要素と呼んでいます。2次要素以上の場合は、角点以外に要素辺上や要素内にも節点を設ける必要があります。

たとえば、平面4角形要素の2次要素の場合、節点は9点(3点×3点)必要となります。ラグランジュ補間法を使う場合、N点列に対してN-1次の関数を定義できます。しかし、3×3点のちょうどど真ん中の節点を省略した8点の節点でも同程度の2次関数で補間できることを偶然？発見したのです。

節点が少ないので9点の場合の内挿関数の形は異なりますが、2次の精度を持ち収束性も同レベルです。節点が少ない分、自由度が少なくなりますので計算時間は早くなります。
2次要素では、ラグランジュ型の要素の方がやや精度は良くなりますが、3次要素以上では、節点を少なくしたセレンディピティ型の要素の方が、計算量もぐっと少なく、安定もしてくるという特徴があります。

高次要素でもどちらのタイプの要素を使っているかは、見た目ではわかりません。節点を表示したり、要素数に対しての節点数を確認してみるのが良いと思います。

座標と変位を同じ補間関数で内挿しているのがアイソパラメトリック要素ですが、高次要素では必ずしも同じ関数を使う必要はありません。座標の関数の次数（補間関数で使用する節点数）が変位の関数の次数よりも少ない要素をサブパラメトリック要素、多い要素をスーパーパラメトリック要素と言います。

要素の持つ要件として、・要素間の連続性、・要素内の補間法、・一定ひずみ状態の表現、・メッシュを細かくしていくことによる収束性が求められます。
完璧な要素というのはなかなか難しそうです。

[From N.Sahashi]

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